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arythmetiqueEpreuve d'arithmétique

Addition, soustraction, multiplication, division

DEA : Examen d'entrée

Il porte sur les quatre opérations numériques de base et sur les conversions mathématiques. Il ne peut être fait appel pour cette épreuve à des moyens électroniques de calcul. Cette partie a pour objet de tester les connaissances et les aptitudes numériques du candidat. Cette épreuve est notée sur 10 points.
Une note égale ou inférieure à 2,5/10 est éliminatoire.

▶ Conseils pratiques: pour préparer l'examen

 

Un nombre entier n'a pas de virgule comme 2 - 45 - 655...
Un nombre décimal se compose d'une partie entière, d'une virgule et d'une partie décimale comme 2,5 - 25,45 - 0,25...

Additions

C'est ajouter à un ensemble des élements identiques comme ce panier de tomates :

addition diefinition

Pour calculer la somme (le total) de 2431 +392 (les termes)

addition

1Poser correctement l'addition en colonnes mettant les unités sous les unités, les dizaines sous les dizaines...

2Effectuer le calcul en commencant par la droite. Première colonne : 1+6 =7

3Deuxième colonne : 3+9 =12

4Comme le résultat est supérieur à 9, on rajoute une retenue que l'on reporte au-dessus de la colonne suivante
"je pose 2 et retient 1"

5Troisième colonne : Retenue 1+4+3 = 8

6Quatrième colonne : 2+0 = 2

 

Nombres décimaux

Il faut aligner les virgules sur la même colonne. Si le chiffre ne comporte pas de décimale, on laisse un vide ou on complète avec un ou des zéros.1

additionadditionadditionaddition

La partie décimale d'un nombre entier est nul. Par ex 1 € = 1,00 €

Ordre des termes

Pour l'addition, l'ordre des chiffres (termes) importe peu. On peut même les inverser, les regrouper pour faciliter le calcul mental.
On dit que l'addition est commutative et associative.
Pour calculer la somme (total) de 75+82+40+25

addition ordreaddition ordre

en placant 75 et 25 ensemble, on sait que l'addition fait 100 (3/4+1/4)

Autres exemples :

16+5+4+15 = (16+4)+(5+15) = 20+20 = 40 (On a rassemblé 16+4 et 5+15)

7+2+3+8= (7+3)+(2+8) = 10+10 = 20

Soustractions

C'est oter d'un ensemble des élements identiques. Par exemple on achète un journal de 4 €, on a 6 €, il nous reste 2 €.

soustraction definition

En dehors de calculer le reste, cette opération permet aussi de chercher
- une différence
On avait 20 euros avant de faire les courses, il nous reste 8 euros. On a donc dépensé 20-8= 12 €
- un complément
On voudrait acheter un livre à 22 € mais on a qu'un billet de 20. Il nous manque 2 €

Pour calculer la différence (le reste) de 2 436 + 492

soustraction

1Poser correctement la soustraction en mettant les unités sous les unités, les dizaines sous les dizaines...

2Effectuer le calcul en commencant par la droite. Première colonne : 6-2 = 4
Comme le premier chiffre est supérieur à celui du dessous, on peut faire la soustraction

3Deuxième colonne : 3-9
Le premier chiffre est inférieur au deuxième 3 < 9, on ne peut pas faire la soustraction

4On augmente de 10 le premier et on garde 1 (la retenue).
3 +10 = 13 -> 13-9 = 4

5On augmente de 1 (la retenue) le chiffre de la deuxième ligne de la colonne suivante
4+1=5 -> 8-5 = 3

6Quatrième colonne : 2-0 = 2

Soustraction avec nombres décimaux

C'est le même principe que pour l'addition. Il faut aligner les virgules sur la même colonne. Si le chiffre ne comporte pas de décimale, on laisse un vide ou on complète avec un ou des zéros.

Vérification du résultat

Résultat + 2 ème chiffre = 1 er chiffre soit 2344 + 492 = 2836

Ordre des termes

Il ne peut pas être changé. Contrairement à une addition, la soustraction n'est pas commutative.

Multiplications

C'est l'addition d'élements identiques.

▷ Revoir les tables de multiplication

multiplication definition Par exemple vous achetez tous les samedis pendant 3 semaines 2 livres. A la fin du mois vous avez donc 6 livres.
Il est plus simple d'utilisez la table de multiplication des 3 .


Pour calculer 23 x 25 il faut :

multiplication

1

Toujours de la droite à la gauche

 

2

On multiple le chiffre de droite de la la première ligne (3) dite "le multiplicante"
par le premier chiffre de droite de la deuxième ligne (5) dite "le multiplicateur" en n'oubliant pas éventuellement une retenue (1).
3 x 5 = 15 "je pose 5 et retient 1 "

 

3

Puis le chiffre suivant de la première ligne (2) multiplier toujours par le premier chiffre de droite de la deuxième ligne (5) en n'oubliant pas éventuellement une retenue (1).
5x 2 = 10 "Je rajoute la retenue soit 10+1 = 11"

 

4

On note le résultat 5 x 23 = 115

 

5

On recommence de multiplier la première ligne (3 puis 2) avec le chiffre à gauche de la deuxième ligne (4).
4 x 3 = 12 "je pose 2 et retient 1"


6

4 x 2 = 8 "Je rajoute la retenue soit 8+1 = 9"
On note le résultat Ligne 2: 4 x 23 = 92


7

 

On additionne en prenant bien soin de décaler d'une colonne le deuxième chiffre

 

Multiplication plus longue

Par ex : 4324 x 2425

multiplication longue

Comme le multiplicateur a plus de 2 chiffres,
on répéte les étapes vues à l'exemple précédent,
mais en n'oubliant pas de de décaler vers la gauche le résultat.


Par exemple avec le dernier multiplicateur (2) le résultat (8648) comporte 3 espaces à droite.

Attention à ne pas mélanger toutes les retenues.

 

Multiplication avec des nombres décimaux

On effectue l'opération sans tenir compte des virgules.
Puis au niveau du résultat on va placer la virgule en fonction des principes suivants :

- 1 seul chiffre est décimal

nombre de chiffres après la virgule = nombre de chiffres après la virgule du multiplicateur ou du multiplicande
345 x 21,3 = 7348,5 (1 chiffre après la virgule)
254,3 x 24 = 6103,2 (1 chiffre après la virgule)
42,24 x 12 = 506,86 (2 chiffres après la virgule)

- les 2 sont décimaux

nombre de chiffres après la virgule = Somme des nombres de chiffres après la virgule du multiplicateur et du multiplicande
25,2 x 12.4 = 312,48 (1 chiffre après la virgule + 1 chiffre après la virgule)
42,1 x 245,54 = 10337,234 (1 chiffre après la virgule + 2 chiffres après la virgule)

Multiplication avec des chiffres se terminant par des zéros

On effectue l'opération sans tenir compte des zéros puis on additionne le nombre de zéros
250 x 15 = soit 25 x 15 = 375 -> 1 zero soit 3750
2800 x 17 = soit 28 x 17 = 476 --> 2 zeos donc = 47600 47600
20 x 120 = 2400 (2 zéros)
2430 x 2100 = 5103000 (3 zéros)
150 000 x 50 = 15x5 = 75 et ensuite on rajoute 5 zéros soit 7 500 000

Le multiplicateur comporte un zéro dans son chiffre

On ignore cette ligne mais on décale d'un cran vers la gauche le résulat partiel de la ligne suivante. le résultat. Par ex : 253 x 305

multiplication zero

Ordre des termes

On peut changer l'ordre de la multiplication (propriété commutative)
24 x 12 pareil que 12 x 24 = 288
Elle est aussi associative. On peut faire une opération du type:
(4x2)x3 pareil que (4x3)x2 = 24
mais aussi rajouter des additions :
(10+2)x4 = 48

Résultat inférieur

C'est possible, si le multiplicante est compris entre 0 et 1
2122 x 0.45 = 954,9

Multiplication par 10, 100, 1000...

C'est tout simple, il suffit de déplacer la virgule du nombre de rangs en fonction du nombre de zéros ou de rajouter un ou plusierus zéros
16 x 10 = 160
1,6 x 10 = 16
25 x 100 = 2500
2.42 x 100 = 242
426 x 1000 = 426000

Multiplication par 0,1 , 0,001...

265 x 0,1 = 26,5
452 x 0,01 = 4,52
25,25 x 0,001 = 0,02525

▷ S'entraîner à faire des multiplications (L'instit)

▷ S'entraîner à faire des multiplications

Divisions

C'est partager en parts égales. Par exemple un panier de 8 poires à partager. Pour 3 enfants on donnera à chacun 2 poires et il en restera 2 .

division definition

divisionOn définit :

On écrit l'opération sous forme
A : B = Q + R ou A /B = Q + R
Afin de réaliser manuellement la division, le mieux est de l'écrire sous la forme d'une croix .

Par ex. pour diviser 152 par 6

division

division

1

J'inscris le dividente A (152) en haut à gauche et le diviseur B (6) en haut à droite
Je dessine une croix enre les 2.

2

Je vérifie que le dividente (152) est plus grand que le diviseur (6) 152 > 6 OK

 

3

 

Je choisis à partir de la gauche dans le dividende A le nombre divisable (légerement supérieur ou égal au diviseur)
1 : 6 impossible
15 : 6 possible
Je recherche dans la table de multiplication (de 6) la valeur légèrement inférieure aux premiers chiffres de gauche (15)
soit 6 x 2 = 12 flag 3 (6 x 3 = 18 est trop grand), j'inscris 2 dans le quotient Q et le solde (15-12 = 3) flag 2 dans le reste R.

4

Je recommence l'opération en abaissant le chiffre de droite du dividende A (2) dans le reste R (soit 32) qui devient le nouveau dividente à diviser. Dans la table de multiplication 5 x 6 = 30 est parfait flag 1

5

J'inscrit 5 dans le quotient Q


6

Et le solde 2 dans le reste R flag 4 (Il doit toujours être inférieur au diviseur 2 <6)

 

Poursuite possible de la division
division decimale  

Comme il y a un reste (Quotient ou division non exact) , je peux éventuellement poursuivre la division

 

1

en permettant d'ajouter des décimales à l'aide d'une virgule au quotient Q

 

2

en ajoutant un 0 au reste

 

3

on peut continuer jusqu'à un résultat juste ou sans fin !

 

Division avec des décimales dans le dividente A
division decimale 1

Le début est comme d'habitude

2

Au moment où on arrive au chiffre du dividende A ayant la virgule

3

On rajoute une virgule au quotient Q pour continuer avec des décimales

 

Division avec des décimales dans le diviseur B

On ne peut pas faire de division avec des décimales dans le diviseur. Il faut multiplier par un facteur 10,100... dividende A et diviseur B

125 : 0,5

1

Il y a une décimale dans le diviseur

125 (x10) : 0.5 (x10)

2

Je multiplie par 10 dividende et diviseur

1250 : 5 = 250

3

Je fais la division

Division avec des décimales dans le dividente A et le diviseur B

Il faut aussi rendre le diviseur B sans virgule (entier) en le multipliant les 2 côtés par 10, 100...selon le nombre de décimales.
La virgule du dividende A sera déplacée.

248,212 : 12,5

1

Il y a une seule virgule dans 12,5

248,212 (X10) : 12,5 (x10)

2

On multiplie les 2 côtés par 10

2482,12 : 125 =19,85696

3

284,212 devient 2842,212 et 12,5 devient 125 (donc sans virgule)

2515,25 : 2,25

1

Il y a 2 virgules dans 2,25

2515,25 (x100) : 2,25 (x100)

2

On multiplie les 2 côtés par 100

251525 : 225 = 1117,88

3

2515,25 devient 251525 et 2.25 devient 225

 
Division avec un dividende A inférieur au diviseur B

On multiplie le dividende par un facteur 10,100... et on marque une virgule dans le quotient avec éventuellement des zéros derrière.

0,85 : 5 1 Dividende < Diviseur
0.85 (x10) = 8,5 2 Je multiplie 0,85 par 10
Q = 0, 3 je mets un 0, (avec une virgule) dans le quotient avant de commencer la division
Q = 0.174 4 Je fais la division

 

0.15 : 5 1 Dividende < Diviseur
0.15 (x100) = 15 2 Je multiplie 0,15 par 100 (par 10 insuffisant toujours 1.5 <5)
Q = 0.0 3 je mets un 0,0 dans le quotient avant de commencer la division
Q = 0.03 4 Je fais la division

 

Division d'un dividende A par 10, 100...

On déplace la virgule de A vers la gauche ou on supprime un ou des zéros

850 : 10 = 85
850 : 100 = 8,5
8,5 : 10 = 0,85
8,5 : 100 = 0,085

Astuces

  • Un nombre entier est divisible
    • par 2, s'il se termine par 0, 2, 4, 6 , 8
    • par 3, si la somme de ces chiffres est divisible par 3
    • par 5, s'il se termine par 0 , 5
    • par 9, si la somme de ces chiffres est divisible par 9

 


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Dr Pierre BLOT chim